Вероятно апория родилась у Зенона, когда он пытался объяснить отсутствие эрекции) И это успокаивающее объяснение - чтобы была эрекция, нужно чтобы была половина эрекции, и так далее. Таким образом эрекция не может начаться, и это, решил Зенон, все объясняет)

Раскрою теперь, что было не так в упомянутом мной парадоксе Ба́наха — Та́рского:
(clickable)

Смотрите, как объясняется этот, с позволения сказать, парадокс:

Заметили? Выдумали, что в трехмерном пространстве существуют какие-то неизмеримые множества, не имеющие объема! Т.е. не трехмерные! Двухмерные например или одномерные.
И эти нетрехмерные множества не обладают свойством аддитивности!
Т.е. их нельзя складывать.

То-есть, авторы парадокса пытаются сложить множество трехмерных фигур с множеством нетрехмерных, это равносильно сложению коров с изображениями этих коров на фотографиях, причем окончательный результат назван трехмерными коровами, несмотря на то, что в нем есть и двумерные изображения коров на бумаге.

Как можно еще это назвать, кроме как наукоподобный бред. Это не парадокс, а неправильное действие. Нельзя складывать картинки с коровами.

_________________
Религия — род духовной сивухи, в которой рабы капитала топят свой человеческий образ, свои требования на сколько-нибудь достойную человека жизнь.
В.И.Ленин

Короче говоря, в следующем году никаких черепах, только задачи с лошадями.

Всех с годом коня!!!

Суть парадокса в том, что никто из людей не может понять: Что такое бесконечно малая величина?

Ну вот совсем для дебилов, типа меня.
Есть деревянное полено, и есть топор.
И я топором разрубаю полено на бесконечно большое количество бесконечно малых щепок.
Вопрос: чему равна одна щепка?
Ответ: бесконечно малой величине.
Вопрос: а что такое бесконечно малая величина?
Ответ: а хрен его знает.

Вывод: чтобы не получать глупых ответов не надо задавать глупых вопросов.

Это такая математическая абстракция;
бесконечно малое в принципе невозможно обнаружить, т.к. инструмент должен быть такого-же порядка, бесконечно малый Точно так-же невозможно обнаружить бесконечно большое. Для его регистрации нужен бесконечно большой инструмент. Проще говоря, спокойнее будет считать, что бесконечно малых и бесконечно больших вообще не существует в природе.

_________________
Религия — род духовной сивухи, в которой рабы капитала топят свой человеческий образ, свои требования на сколько-нибудь достойную человека жизнь.
В.И.Ленин

При такой постановке задачи (с поленом ;)), ряд (щепок) явно сойдется, а значит при достижении этой "абсолютной малой" (если предположить, что физический объект состоит из каких-то неделимых частиц даже меньших ныне открытых) - полено будет порублено, так как последнюю "бесконечно малую" неделимую частицу разрубить не получится. Это же касается примера с бутылкой воды, но не работает с "принятыми" единицами измерения - длина, вес, объем. Если бы мы в задаче с Ахилесом и Черепахой определились бы изначально, что минимальным неделимым расстоянием является, например миллиметр, то по достижению этого отрезка деления - делить бы уже не получилось, и ряд бы сошелся - Ахилес догнал черепаху...

Помнится на первом курсе много копий поломали о подобные задачи. Гораздо веселее, когда тебе в какой-нибудь работе специально дают помимо других заданий, например неберущийся интеграл, который тебе не знаком - та еще потеха...

Вообще рекомендую архив статей журнала "Квант", там многие эти вопросы разобраны подробно, и про бесконечно малые вещи тоже. Вот, например - http://kvant.mccme.ru/1970/03/tajny_beskonechnosti.htm

По логике вы конечно правы, но доказать либо опровергнуть это невозможно.
Проблема в том, что под бесконечно малой величиной понимают некий условный объект, абсолютно не имеющий никаких размеров. Ну, то есть это такая маленькая хрень, которая как-бы существует, но такая маленькая, что размеров вообще не имеет.
Поэтому если мы возьмём полено и будем долго-долго его рубить, то теоретически в конце концов разрубим его на бесконечное количество неких величин у которых вообще нет никаких размеров.
А что в итоге получится, если складывать между собой безразмерные объекты - вопрос дискуссионный.
И поэтому если мы снова решим восстановить разрубленное на безразмерно-малые куски полено, то в итоге может выйти полено, а может и буратино.

Мне тут пришла в голову такая мысль: бесконечно малая величина - вообще не существует.
Это следует из названия: бесконечно малая величина. Пока мы не найдем конец процесса поиска бесконечно малой - мы не можем ее идентифицировать, а найти конец мы никогда не сможем, конца-то у бесконечности нет.
Сейчас я попробую это доказать.

Возьмем условие: существует бесконечно малая А.
Допустим, что мы эту бесконечно малую А разделим на два, и результат назовем Б:
А/2=Б. Мы видим, что Б < А, т.е. А не бесконечно малая, Б меньше ее, она ближе к нулю. Таким образом мы доказали, что А - не бесконечно малая, есть и меньше.

Найдите ошибку в доказательстве.

_________________
Религия — род духовной сивухи, в которой рабы капитала топят свой человеческий образ, свои требования на сколько-нибудь достойную человека жизнь.
В.И.Ленин

Объекты без размеров складывать невозможно, ведь складывать надо размеры объекта, а не его название, а размеров нет. Над безразмерными объектами невозможны все действия, производимые с размерами: сложение, вычитание, умножение, деление.
Поэтому, применение безразмерных объектов вместе с нормальными объектами, имеющими размеры - ошибочно. И парадоксы основаны на ошибке.

_________________
Религия — род духовной сивухи, в которой рабы капитала топят свой человеческий образ, свои требования на сколько-нибудь достойную человека жизнь.
В.И.Ленин

Скажем так: мы не можем математически корректно выразить размеры бесконечно малой величины, поэтому условно говорим например"размер шага ахиллеса стремится к нулю" или "число шагов ахиллеса стремится к бесконечности".
Но более точно выразить размеры конечного "шага" нам пока не удаётся.

В том то и вопрос, что если не определиться с граничными условиями, то задача переходит из математической в диалектическую, а дальше в философскую... Но ведь очевидно, что выливая воду из бутылки - она через какой-то промежуток времени вытечет, а это значит, что у воды (с точки зрения постановки задачи) существует какая-то наименьшая неделимая частица, а значит ошибка в постановке задачи, то есть в восприятии реальности.

Дело в том, что выражать их и не нужно, т.к. ни кто не может достичь бесконечности, поэтому ему незачем эти данные. А если он достиг какой-то конкретной точки, то и можно и рассчитать эту конкретную точку.
(Опровергните меня, т.к. я чувствую, что что-то не так).

_________________
Религия — род духовной сивухи, в которой рабы капитала топят свой человеческий образ, свои требования на сколько-нибудь достойную человека жизнь.
В.И.Ленин

бесконечно малая неделима.

Спасибо, я не знал.
Мне непонятно это свойство.
Запрещая делить бесконечно малое мы запрещаем продвигаться дальше к бесконечности, т.е. устанавливаем ей конец.
Интересно, а умножать бесконечность на константу можно?

_________________
Религия — род духовной сивухи, в которой рабы капитала топят свой человеческий образ, свои требования на сколько-нибудь достойную человека жизнь.
В.И.Ленин